Április 19-23.

Common knowledge, köztudott tudás, avagy miért kell kimondani olyan dolgokat, amiket mindenki tud?

Pintér Gergő

#Matematika

Az egyetemi autonómia témáját érintő Infosztrájk-óraterv az Ismeretterjesztő matematika interdiszciplináris kurzusra. 

Szerző: Pintér Gergő 

John Conway emlékére, aki sok-sok matematikai egzotikum között a common knowledge fogalmára épülő logikai fejtörőket is intenzíven kutatta.

Elérhető az interaktív előadás egy régebbi verziója

Milyen plusz töltete van egy mindenki által tudott információnak, ha egymásról is tudják az érintettek, hogy tudnak róla, és milyen következménye van annak, ha nem beszélünk róla? Mit jelent, és mivel jár az egymás tudásáról való tudás?

A fenti kérdések hallatán sok ember első gondolata: ez pszichológia. Azonban van egy tisztán logikai gyökere is ezeknek a jelenségeknek. Mivel nagyon nehéz így közvetlenül kimutatni a valóságos jelenségek mögött ezt a mozgatórugót, amely általában nem is tiszta formájában nyilvánul meg, egy logikai fejtörőn keresztül mutatjuk be kiélezett formában. A világ egyik legagyafúrtabbnak tartott fejtörője Terence Tao matematikus blogbejegyzése  nyomán híresült el a matematikusok között. Magyarországon Mérő László szokta idézni ezt a példát. Lássuk hát a feladatot!

Egy szigeten 90 barna és 10 kékszemű él. Szuperintelligensek, mindent azonnal kikövetkeztetnek, amit a rendelkezésükre álló infók alapján ki lehet. A szemszín tabutéma, nem beszélnek róla, nem tudják a sajátjukét, nincs tükör (egymás szemét persze látják). Ha valaki megtudja, milyen színű a szeme, akkor másnap reggel mindenki szeme láttára végez magával – már csak ezért sem firtatják a szemszín témát.

Egy napon idegen hírnök érkezik, és a szigetlakók reggeli gyűlésén bejelenti: „van köztetek kékszemű”. Mi fog ez után történni?

[A feladat szövegéből hiányzik néhány fontos információ, ami elsőre inkább összezavarna, mintsem segítene. Ilyen például az, hogy a lények szuperintelligensek, és ezt egymásról is tudják, és azt is tudják egymásról, hogy tudják stb. A megoldásban ez az információ nem segít. A feladat korrekt kitűzése egy kiegeszítő feladat lehet, miután már megoldottuk.]

A feladat megoldása interaktív brainstorming formájában zajlik. A legfontosabb gondolatok, amik el kell, hogy hangozzanak, mielőtt továbbmegyünk:

A megoldáshoz vezető lépések a közönség hozzászólásai alapján organikusan alakuló sorrenden:

Ezernyi kérdés felmerül:

És számomra a legizgalmasabb kérdés. A társadalomban is tapasztalunk hasonló jelenségeket. Például az, hogy Pozsgay Imre nyilvánosan „népfelkelésnek” nevezte az addig hivatalosan ellenforradalomként emlegetett 56-os eseményeket, egy jelentős fordulatnak számít a rendszerváltás folyamatában. A V mint vérbosszú című filmben a maszkos alak nyilvános bejelentése a köztévében a diktatúra összeomlásához vezetett egy éven belül. Mindkét esetben olyan dolog hangzott el nyilvánosan, amit a társadalom többé-kevésbé addig is tudott (kérdés persze, ki mennyire ismerte el önmagának, és még megannyi apró részlet). De miért megy végbe hasonló folyamat az emberi társadalomban, mint a logikai fejtörő szuperintelligens lényeinek közösségében? Hiszen a fejtörő a valóságtól teljesen elrugaszkodott, az a mechanizmus a társadalomban nem működhet, az emberek nem szuperintelligens lények.
De van egy közös mozgatórugója a jelenségeknek, ami mindegyik kérdésre magyarázatot ad: a köztudott tudás. Egy információ közös tudás (mutual knowledge) egy közösségben, ha a közösség minden tagja tudja. Köztudott tudás (common knowledge), ha mindenki tudja, de ezen felül egymásról is tudják, hogy tudják, és azt is tudják, hogy tudják, hogy tudják. Például a Józsi tudja, hogy Pisti tudja, hogy Ili tudja, és így tovább, tetszőleges hosszúságú láncokra. A köztudott tudás ilyen értelemben egy végtelen jelenség. A nyilvános bejelentés a közös tudást köztudott tudássá teszi, egy csapásra létrehozva ezt a végtelenséget.

Mi tehát az új információ a feladatban? Nem a hírnök mondatának a tartalma, hanem a bejelentés körülményei. Legyen Józsi és Lajos a két kékszemű. Ha a hírnök bejelentése előtt megkérdeznénk Józsitól, hogy „Lajos tudja, hogy van köztetek kékszemű?”, akkor azt válaszolja Józsi, hogy nem tudom. Hiszen csak egy kékszeműt ismer, Lajost, és tudja, hogy ő önmagáról nem tudja, azt pedig nem tudja, hogy róla, Józsiról mit tud Lajos. Ez tehát Józsi számára az új információ: a hírnök bejelentése után már tudja, hogy „Lajos tudja, hogy van köztünk kékszemű”, hiszen ott állt Lajos Józsi mellett. (Persze az is kell ehhez, hogy a hírnök igazat mondjon, és ez köztudott tudás legyen köztük – ez is hozzátartozna a feladat korrekt kitűzéséhez.) Hasonló kérdést lehet feltenni három kékszemű esetén is, de ahhoz eggyel több mélységig kell menni az egymás tudásáról való tudásban. A 10 kékszeműs eset megoldásának működéséhez 10 mélységű „empatizációt” kell feltételeznünk.  Ebben a cikkben szépen illusztrálják ezt a jelenséget.

Hasonló választ adhatunk arra a kérdésre is, hogy mire kell a 10 nap: minden egyes haláleset meg nem történése új információ.

„De ők nem tudják, hogy mi nem tudjuk azt, amiről ők úgy tudják, hogy tudjuk. ” /Vektor/

Milyen módokon jelenik meg a köztudott tudás az életünkben? Általánosabban: vizsgálhatjuk a közös tudás és az egymás tudásáról való tudással kiegészített közös tudás közötti különbség megnyilvánulásait. Kiderül, hogy egész sok, a téma ismerete nélkül simán pszichológiának minősített jelenségnek ez a logikai háttere.

„Ha négy ember beszélget, akkor (…) mindegyiküknek (…) végig kell gondolni, hogy az éppen kimondott szó az összes többi szereplő agyában milyen gondolatokat okozhat, és bármelyik szereplő mit hihet arról, hogy a többi szereplők agyában e gondolatok vajon micsodák. (…) Egy átlagos shakespeare-i szereplő a negyedik hatványon gondolkodik. Valakinek még ennél is nehezebb dolga van, ha tényleg meg akarja érteni a darabot. A nézőnek. A nézőnek, ugyanis kívülállóként kell [ismernie] mind a négy szereplő gondolatait, és egymáshoz való viszonyát is elemeznie kell. Ráadásként azonban ott van még ő maga is. (…) Neki (…) az ötödik hatványon kell gondolkodnia. (…) azt hiszem, hogy A úgy gondolja, hogy B azt szeretné, ha C azt értené D gondolatain, hogy…) Egy átlagos ember esetén ez az elérhető komplexitás maximuma. (…) Valakinek azonban még a nézőnél is nehezebb dolga volt… Shakespeare-nek magának. Neki ugyanis nemcsak a négy szereplő minden kölcsönhatását, hanem mind a négyüknek a nézőre gyakorolt hatását is külső szemlélőként kellett figyelembe vennie. Azaz Shakespeare a drámái írása közben egy hatvánnyal az átlagos emberi felfogóképesség felső határa felett, a hatodik hatványon gondolkodott. (…)” (Dunbar, 2005).

A logikai fejtörőnek van sok módosított verziója. Egyik tanulságos példa: miután a hírnök kimondta azt a mondatot, és rájön, mit tett, hogyan mentheti meg a szigetlakókat, vagy legalábbis nagy részüket? Hát így: „van köztetek kékszemű… Például ő ott!” – és rámutat valakire.

Megosztom

Kapcsolódó Tudástár